Category Archives: math for today

by

ត្រៀមប្រឡងសិស្សពូកែគណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី១២


    វិញ្ញាសាជ្រើសរើសសិស្សពូកែថ្នាក់ទី​ ១២ ខេត្តដុងណាយ ប្រទេសវៀតណាម
      by

      ការដូពិសេសសំរាប់ថ្ងៃនេះ!


        USSR Mathematical Olympiad 1989-1992

          ចែកជូនឥតគិតថ្លៃ :D


            ទាញយកបាននៅទីនេះ Download Here!

            by


              សំរាប់បំប៉នសិស្សពូកែទី៩
                  ១. គេឲ្យចំនួន a\ne 0,\ b\ne 0 និង a+b+c=0។

                  ក). ស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ a^3+b^3+c^3=3abc

                  ខ). ស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ \dfrac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2-c^2}=3x បើ c=-2x (ខេត្តកំពង់ធំ ២០១១)

                  ២.គណនាតំលៃនៃកន្សោមៈ (a^4+b^4+c^4) ដោយដឹងថាa+b+c=0

                  ហើយ a^2+b^2+c^2=1 ។ (ខេត្តកំពង់ធំ ២០១១)

                  ៣. ដោះស្រាយសមីការនិង ប្រព័ន្ធសមីការខាងក្រោមៈ

                  a). \sqrt{x-94}+\sqrt{96-x}=x^2-190x+9027.

                  b). \left\{\begin{array}{l}x+y+z=1\\x^2+y^2+z^2=1\\x^3+y^3+z^3=1\end{array}\right. (ទីក្រុងហូជីមីញ ១៩៨៧)

                  ៤.ក្នុងថ្នាក់រៀនមួយគេរៀបសិស្សជាក្រុម។បើគេរៀបសិស្ស ៨នាក់ក្នុងមួយក្រុមនោះនៅសល់

                  សិស្ស ៤នាក់។ តែបើគេរៀបសិស្ស ៩នាក់ក្នុងមួយក្រុម នោះខ្វះសិស្សពីរនាក់។

                  រកចំនួនសិស្សនៅក្នុងថ្នាក់នេះ​? ​(ខេត្តកំពង់ធំ២០០៩)

                  ៥.a)គេឲ្យចំនួនវិជ្ជមានពីរ a,\ \ b ។ស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab},

                  សញ្ញាសមភាពកើតមាននៅពេលណា??

                  b). រករឹសជាចំនួនគត់វិជ្ជមានរបស់សមីការៈ

                  (1+x_1)(1+x_2)(1+x_3)....(1+x_n)=2^n.\sqrt{x_1.x_2.x_3....x_n} (សិស្សពូកែទូទាំងប្រទេសយួន ១៩៩២)

                  ៦.គេឲ្យត្រីកោណABCកែងត្រង់A មាន\hat{B}=60^0និង BC=10cm ។

                  គណនាក្រឡាផ្ទៃខាងជុំវិញ,ក្រឡាផ្ទៃសរុបនិងមាឌរបស់រូបធរណីមាត្រដែលបង្កើតឡើងដោយ

                  \Delta ABC ពេល \Delta ABC វិលជុំវិញជ្រុង AC ។

                    by

                    លំហាត់បំប៉ន

                      សំរាប់សិស្សពូកែថ្នាក់ទី ៩

                          ១). គេឲ្យ x,\ y,\ z ជាបីចំនួនផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌៈ

                          4x^2+2y^2+2z^2-4xy-4zx+2yz-6y-10z+34=0 ។ ចូរគណនាតំលៃនៃកន្សោមៈ

                          S=(x-4)^{2011}+(y-4)^{2011}+(z-4)^{2011}

                          ២). ចូរគណនា A=2x^3+2x^2+1 ចំពោះ x=\dfrac{1}{3}\Biggl(\sqrt[3]{\dfrac{23+\sqrt{513}}{4}}+\sqrt[3]{\dfrac{23-\sqrt{513}}{4}}-1\Biggr)

                          ៣). គេឲ្យ c>1 និង

                          x=\dfrac{\sqrt{c+2}-\sqrt{c+1}}{\sqrt c-\sqrt{c-1}};\quad y=\dfrac{\sqrt{c+2}-\sqrt{c+1}}{\sqrt{c+1}-\sqrt c};\quad z=\dfrac{\sqrt c-\sqrt{c-1}}{\sqrt{c+2}-\sqrt{c+1}}

                          ចូររៀប x,\ y,\ z តាមលំដាប់កើន។

                          ៤). សំរួលកន្សោមខាងក្រោមៈ

                          P=\dfrac{1}{2\sqrt 1+1\sqrt 2}+\dfrac{1}{3\sqrt 2+2\sqrt 3}+...+\dfrac{1}{2011\sqrt{2010}+2010\sqrt{2011}}

                          ៥).គេឲ្យ x ជាចំនួនពិត, និងឲ្យ A=\dfrac{-1+3x}{1+x}-\dfrac{\sqrt{|x|-2}+\sqrt{2-|x|}}{|2-x|} ។

                          ស្រាយបញ្ជាក់ថា A ជាចំនួនគត់ និងរកលេខចុងក្រោយរបស់ A^{2011} ។

                          ៦). គេឲ្យត្រីកោណ ABC ចារឹកក្រៅរង្វង់ផ្ចិត O ,​កាំ r ។ គូសបណ្តាបន្ទាត់ប៉ះរបស់រង្វង់ផ្ចិត O,

                          ស្របនឹងជ្រុងទាំងបីរបស់ត្រីកោណ ABC , បណ្តាបន្ទាត់ប៉ះនេះបង្កើតជាមួយបណ្តាជ្រុងរបស់ត្រីកោណ

                          ABC បានត្រីកោណតូចបីដែលមានក្រឡាផ្ទៃរៀងគ្នាគឺ S_1,\ S_2,\ S_3។ តាង S ជាក្រឡាផ្ទៃត្រីកោណ

                          ABC ។ រកតំលៃតូចបំផុតរបស់កន្សោមៈ

                          \dfrac{S_1+S_2+S_3}{S}
                                by

                                លំហាត់ជំរើសសំរាប់ថ្នាក់ទី ៩!


                                  សំរាប់ត្រៀមសិស្សពូកែថ្នាក់ទី ៩(រយៈពេល១៥០ នាទី)
                                    ១).គេឲ្យសមីការដឺក្រេទីពីរចំនួនពីរ: x^2+a_1x+b_1=0\qquad (1),\qquad x^2+a_2x+b_2=0\qquad (2)

                                    មានបណ្តាមេគុណផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌ a_1a_2\ge 2(b_1+b_2) ។​ ស្រាយបញ្ជាក់ថា យ៉ាងតិចមានមួយក្នុង

                                    ចំណោមសមីការទាំងពីរមានរឹស ។

                                    ២).ស្រាយបញ្ជាក់ថា \sqrt 2+\sqrt 3+\sqrt 5\not\in\mathbb Q ។

                                    ៣).គេឲ្យបីចំនួនគត់ x,\ y,\ z ផ្ទៀងផ្ទាត់ x^2+y^2=z^2 ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថា xyz\ \vdots\ 60 ។

                                    ៤).ស្រាយបញ្ជាក់ថា \forall a,\ b,\ c>0 យើងបាន:

                                    a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)\le 3abc ។

                                    ៥).a)គេឲ្យត្រីកោណ​ ABC មានកំពស់ BH មិនខ្លីជាងជ្រុង AC ,កំពស់ CK មិនខ្លីជាងជ្រុង AB ។

                                    គណនាបណ្តាមុំរបស់ \Delta ABC

                                    b).ស្រាយបញ្ជាក់ថាក្នុងត្រីកោណមួយ, ប្រវែងពីអរតូសង់ទៅកំពូលស្មើពីរដងប្រវែងពីចំនុចប្រសព្វ

                                    របស់បណ្តាមេដ្យាទ័រទៅនឹងជ្រុងឈមមុខរបស់កំពូលនោះ ។
                                        by

                                        ចូលចិត្តគណិត? ចឹងគិតលំហាត់ខាងក្រោមនេះ!….


                                          លំហាត់ស្រាវជ្រាវសំរាប់ថ្នាក់ទី ៨ ទៅទី ១២(៣)

                                            ១).គេឲ្យ p=7!\times 8!\times 9!\times 10!\times 11!\times 12! . តើមានប៉ុន្មានកត្តាគុណរបស់ p ដែលជាចំនួនការេប្រាកដ?

                                            ២).រកគ្រប់ចំនួនគត់វិជ្ជមាន (m,n) ដើម្បីឲ្យ

                                            m^2+n^2+3=4(m+n)

                                            ៣). គណនាកន្សោមខាងក្រោម:

                                            2\times\biggl(\dfrac{1}{1\times 3}+\dfrac{1}{3\times 5}+\dfrac{1}{5\times 7}+...+\dfrac{1}{2009\times 2011}\biggr)

                                            ៤). គេឲ្យចំនួនវិជ្ជមានពីរ a,\ b ។ ចូររកតំលៃតូចបំផុតរបស់កន្សោមខាងក្រោម:

                                            A=\dfrac{x^2}{(ay+bz)(az+by)}+\dfrac{y^2}{(az+bx)(ax+bz)}+\dfrac{z^2}{(ax+by)(ay+bx)}

                                            , ក្នុងនោះ x,y,z ជាចំនួនវិជ្ជមានបីណាក៏បាន ។

                                            ៥). រកគ្រប់បណ្តាអនុគមន៍ f:\ \mathbb Q\to\mathbb Q ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់:

                                            \left\{\begin{array}{l}f(1)=2\\f(xy+y)=f(x).f(y)-f(x+y)+2\qquad \forall x,y\in\mathbb Q\end{array}\right.
                                            by

                                            ប្រៀបធៀបនឹងគណនា


                                              លំហាត់ស្រាវជ្រាវសំរាប់ថ្នាក់ទី ៨ ទៅទី ១២

                                                1.ប្រៀបធៀបចំនួនទាំងពីរខាងក្រោម

                                                A=1+2010^2+2010^3+...+2010^{2010},\qquad B=2010^{2011}

                                                2.កំណត់ចំនួនគត់ធំបំផុតដែលតូចជាងរឺស្មើនឹង \sqrt[3]{(2011)^3+3(2011)^2+4.2011+5}

                                                3.ដោះស្រាយសមីការ 1+x+x^2+x^3+....+x^{2011}=0

                                                4.ឧបមាថា a>0,\ b>0 ហើយ a+b<1 ។ ចូរគណនាតំលៃតូចបំផុតរបស់កន្សោម

                                                \dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{a^2+ab}+\dfrac{1}{b^2+ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}