គណិតវិទ្យា

ទុកគិតលេងចុងសប្តាហ៍

១.គណនាលីមីខាងក្រោមនេះ :

a) $\displaystyle\lim_{x\to\ 1}\dfrac{\sqrt[q]{x^p}}{\sqrt[s]{x^r}}, p, q, r, s\in N$

b) $\displaystyle\lim_{x\to\infty}cos\dfrac{x}{2}.cos\dfrac{x}{2^2}...\dfrac{x}{2^n}, x\ne 0$

c) $\displaystyle\lim_{x\to\ 0}x^{x^x-1}$

២.គណនាដេរីវេទី $n$ នៃអនុគមន៍ខាងក្រោម:

a) $y=\dfrac{1}{a+bx}$

b) $y=\dfrac{1}{x^2-a^2}$

c) $y=e^{ax}.sinbx$

៣.a) គេឲ្យ $a, b, c$ ជាបណ្តាចំនួនពិតវិជ្ជមាន។ ស្រាយបញ្ជាក់ថា: $\dfrac{2a}{a+b}+\dfrac{2b}{b+c}+\dfrac{2c}{c+a}\leq 3$ ។

b). គេឲ្យបណ្តាចំនួន $a, b, c$ មិនអវិជ្ជមាននិងផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌ $a+b+c=2$ ។ រកតំលៃតូចបំផុតនៃកន្សោម:

$Q=\dfrac{a}{3+b^2+c^2}+\dfrac{b}{3+c^2+a^2}+\dfrac{c}{3+a^2+b^2}$ ។

៤.ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការខាងក្រោម:

a) $\left\{\begin{array}{l} x^2+y^2+z^2+2xy-zx-zy=3\\x^2+y^2+yz-zx-2xy=-1\end{array}\right.\quad$

b) $\left\{\begin{array}{l} \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y+z}=\dfrac{1}{2}\\ \dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z+x}=\dfrac{1}{3}\\ \dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x+y}=\dfrac{1}{4}\end{array}\right.\quad$

ចំលើយ

___________________________________

បំបាត់អផ្សុក

១.a).ស្រាយបញ្ជាក់ថា $1+\dfrac{1}{cos2x}=\dfrac{tg2x}{tgx}$ ។

b).ចូរគណនាកន្សោម $P=1+(\dfrac{1}{cosa}).(1+\dfrac{1}{cos2a})(1+\dfrac{1}{cos2^2a})...(1+\dfrac{1}{cos2^na})$ ។

២.គណនាលីមីតខាងក្រោមនេះ :

a) $\displaystyle\lim_{x\to\ 0^{+}}(arctgx)^{sinx}$

b) $\displaystyle\lim_{x\to\dfrac{\pi}{2}}(1-sinx)^{cotgx}$

៣.គណនាដេរីវេទី $n$ នៃអនុគមន៍ $y=\dfrac{1-2x}{e^{2x}}$ ( $n$ ជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន ) ។

៤.គេឲ្យ $x, y, z >0$ ។ រកតំលៃធំំបំផុតនៃកន្សោម $A=\dfrac{xy}{x^2+xy+yz}+\dfrac{yz}{y^2+yz+xz}+\dfrac{xz}{z^2+xz+yx}$ ។

ចំលើយ

___________________________________

ស្រដៀងគ្នា

១.a)ស្រាយបញ្ជាក់ថា : $2cosx-1=\dfrac{2cos2x+1}{2cosx+1}$

b)ទាញរកការគណនា:

$S=(2cosa-1)(2cos2a-1)(cos2a-1)(2cos4a-1)...(2cos2^na-1)$

២.គណមាលីមីតខាងក្រោម:

a) $\displaystyle\lim_{x\to\ 0^{+}}(arcsinx)^{tgx}$

b) $\displaystyle\lim_{x\to\ 0}(1-cosx)^{tgx}$

៣.គណនាដេរីវេទី $n$ នៃអនុគមន៍ $y=xln(1-3x)$ ,( $n$ ជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន) ។

៤.គេឲ្យ $x, y, z$ ជាបណ្តាចំនួនវិជ្ជមាននិង $\sqrt{xy}+\sqrt{xz}+\sqrt{yz}=1$ ។

រកតំលៃតូចបំផុតនៃកន្សោម $A=\dfrac{x^2}{x+y}+\dfrac{y^2}{y+z}+\dfrac{z^2}{z+x}$ ។
ចុចត្រង់នេះដើម្បីមើលចំលើយ(click here to see the answer)

_______________________________

គិតលេងមើល!

១.ចូរប្រៀបធៀបចំនួន $A$ និង $B$ : $A=\dfrac{0,246246246}{(0,123123123)^2+1} ;B=\dfrac{0,246246248}{(0,123123124)^2+1}$ ។

២.គណនាលីមីត $\displaystyle\lim_{x\to\ 0}\dfrac{\sqrt[3]{1+3x}.\sqrt[4]{1+4x}-1}{\sqrt{1-x}-1}$ ។

៣.រកតំលៃធំបំផុតនិងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍ $f(x)=2\pi+3x^2-6arccotgx^2$ ចំពោះ $-\sqrt[4]{3}\leq x\leq 1$ ។

៤.គណនាអាំងតេក្រាលខាងក្រោមនេះ :

a) $A=\int\dfrac{dx}{x^2-a^2}$

b) $B=\int\dfrac{dx}{a^2+x^2}$

c) $C=\int\dfrac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}$
ចំលើយ

___________________________

គិតលេងមើល!

១.រក $x, y$ ជាចំនួនគត់វិជ្ជមានផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការ $3x+5y=26$ ។

២.ដោះស្រាយសមីការ $a\dfrac{(a+b)(a+x)}{(a-b)(a-x)}+b\dfrac{(b+x)(b+a)}{(b-x)(b-a)}+x\dfrac{(x+a)(x+b)}{(x-a)(x-b)}=0$ ។

៣.ដោះស្រាយនិងពិភាក្សាតាមប៉ារ៉ាមែត្រ $a :2x^3-ax^2+2(a-1)x+a^2-a=0$ ។

៤.សមីការ $96x^4+24\sqrt 3x^3-5x^2+6x+2=0$ អាចតាងអញ្ញតិជំនួយដើម្បីក្លាយជាសមីការដឺក្រេទីពីរបានទេ?

___________________________

៥.ដោះស្រាយសមីការ $a(b+x-a)^2+b(x+a-b)^2+x(a+b-x)^2+(a+b-x)(b+x-a)(x+a-b)=[a^2(b+x-a)+b^2(x+a-b)+x^2(a+b-x)-(a+b-x)(b+x-a)(x+a-b)](x+1)$ ។

៦.រក $a$ ដើម្បីឲ្យសមីការខាងក្រោមមានរឹស $x^4-2x^3+2ax^2+2ax+a^2=0$ ។

៧.ដោះស្រាយនិងពិភាក្សាតាមប៉ារ៉ាមែត្រ $m$ : $x^4+4x^3-2mx^2-4mx+m^2=0$ ។

៨.រក $x, y$ ជាចំនួនគត់ផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌសមីការ $3x+4y=27$ ។

___________________________

៩.គេឲ្យ $f(x)=ax^2+bx+c$ ផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌ $|f(-1)|\le 1, |f(0)|\le 1, |f(1)|\le 1$ ។ស្រាយបញ្ជាក់ថា $|f'(x)|=|2ax+1|\le 4$ ចំពោះ $|x|\le 1$ ។

១០.ស្រាយបញ្ជាក់ថាបើ $a_{1},a_{2}$ ជាបណ្តារឹសនៃសមីការ $x^2+px+1=0$ និង $b_{1},b_{2}$ ជាបណ្តារឹសនៃសមីការ $x^2+qx+1=0$ នោះ $(a_{1}-b_{1})(a_{2}-b_{1})(a_{1}+b_{2})(a_{2}+b_{2})=q^2-p^2$ ។

១១.ស្រាយបញ្ជាក់ថាពេល mប្រែប្រួល, បន្ទាត់ $y=m(x+1)+2$ តែងកាត់ក្រាប $y=x^3-3x$ ត្រង់ចំនុចនឹងមួយ $A$ ។

១២.ដោះស្រាយសមីការ $2x^4+x^3+5x^2+x+3=0$ ។

___________________________________________

១៣.រក $m$ ដើម្បីឲ្យរឹសទាំងពីរ $x_{1},x_{2}$ នៃសមីការដឺក្រេទីពីរ $(m-1)x^2-2(m-3)+m-4=0$ ជា sin និង cosin នៃមុំរួមគ្នាមួយ។

១៤.គេឲ្យ $f(x)=ax^2+bx+c$ មាន $|f(0)|\le 1, |f(1)|\le 1, |f(-1)|\le 1$ ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថា $|f(x)|\le \dfrac{5}{4}$ ចំពោះគ្រប់ $|x|\le 1$ ។

១៥.ដោយមិនបាច់ដោះស្រាយសមីការ ចូរគណនា $x_{2}^3-x_{1}^3$ ដោយដឹងថា $x_{1},x_{2}$ ជារឹសទាំងពីរនៃសមីការ $x^2-\dfrac {\sqrt {85}}{4}.x+1\dfrac {5}{16}=0$ , និង $x_{1}<x_{2}$ ។

១៦.ចំពោះតំលៃជាចំនួនគត់ណានៃ $k$ ,បណ្តារឹសនៃសមីការ $kx^2+(2k-1)x+k-2=0$ ជាបណ្តាចំនួនសនិទាន។

_____________________________________

១៧.គេឲ្យ $f(x)=2x^2+2(m+1)x+m^2+4m+3$ ។

a) រក $m$ ដើម្បីឲ្យ $f(x)=0$ មានរឹស

b) រក $m$ ដើម្បីឲ្យ $f(x)=0$ មានរឹសធំជាងឬស្មើ $1$

c) តាង $x_{1},x_{2}$ ជារឹសនៃសមីការ $f(x)= 0$ ។ រកតំលៃធំបំផុតនៃកន្សោម $A=|x_{1}x_{2}-2(x_{1}+x_{2})|$ ។

១៨.រក $a$ ដើម្បីឲ្យសមីការ $(a+1)x^2-(8a+1)x+6a=0$ មានរឹសមួយគត់ស្ថិតនៅចន្លោះ $(0, 1)$ ។

១៩.រក $m$ ដើម្បីឲ្យសមីការ $x^2-mx+m^2-3-m=0$ មានរឹស $x_{1},x_{2}$ ជាប្រវែងជ្រុងមុំកែងនៃត្រីកោណកែងមួយមានអ៊ីប៉ូតេនុសស្មើ 2 ។

២០.គេឲ្យ $a\ge 1$ ,រក $a$ ដើម្បីឲ្យរឹសធំបំផុតនៃសមីការ $x^2+(2a-6)x+a-13=0$ មានតំលៃធំបំផុត។

______________________________

២១.រក $m$ ដើម្បីឲ្យសមីការខាងក្រោមមានរឹសតែមួយគត់ស្ថិតក្នុងចន្លោះ $(0, 1)$ : $mx^2-2(m+1)+1=0$ ។

២២.គេឲ្យសមីការ $(m-5)x^2-4mx+m-2=0$

a) រក $m$ ដើម្បីឲ្យសមីការមានរឹសពីរផ្ទុយសញ្ញាគ្នា

b) រក $m$ ដើម្បីឲ្យសមីការមានរឹសពីរវីជ្ជមាន ។

២៣.ដោះស្រាយនិងពិភាក្សាសមីការ $\dfrac {a}{ax-1}+\dfrac {b}{bx-1}=\dfrac {a+b}{(a+b)x-1}$ ។

២៤. តាង $x_{1},x_{2}$ ជារឹសនៃសមីការ $12x^2-6mx+m^2-4+\dfrac {12}{m^2}=0$ ។ រកតំលៃធំបំផុតនិងតូចបំផុតនៃ $S=x_{1}^3+x_{2}^3$ ។

______________________________

២៥.គេដឹងថា $tga, tgb$ ជារឹសនៃសមីការ ដឺក្រេទីពីរខាងក្រោម : $x^2+px+q=0$ ។ចូរគណនាកន្សោមខាងក្រោមជាអនុគមន៍នៃ $p$ និង $q$ : $M=sin^2(a+b)+p.sin(a+b).cos(a+b)+q.cos^2(a+b)$ ។

២៦.រក $m$ ដើម្បីឲ្យសមីការខាងក្រោមមានរឹសពីរផ្សេងគ្នាសុទ្ធតែធំជាង 1 : $(1+m)x^2-3mx+4m=0$ ។

២៧.រក $m$ ដើម្បីឲ្យសមីការខាងក្រោមមានរឹសឌុប : $(m-1)x^2+2mx-2+3m=0$ ។

២៨.ដោះស្រាយនិងពិភាក្សាសមីការ $\dfrac {a}{x-b}+\dfrac {b}{x-a}=2$ ។

______________________________

២៩.រក $m$ ដើម្បីឲ្យសមីការ $x^2+(5-m)x+15-3m=0$ មានរឹសពីរជាចំនួនអវិជ្ជមាន។

៣០.រក $m$ ដើម្បីឲ្យអនុគមន៍ $y=x^3+2(m-1)x^2+(m^2-4m+1)x-2(m^2+1)$ មានអតិបរមា និង អប្បបរមាត្រង់ពីរចំនុច $x_{1}, x_{2}$ ផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌ $\dfrac {1}{x_{1}}+\dfrac {1}{x_{2}}=\dfrac {x_{1}+x_{2}}{2}$ ។

៣១.រកតំលៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃផលបូកការេនៃបណ្តារឹសរបស់សមីការ ខាងក្រោមពេល $a$ ប្រែប្រួល $x^2-(3sina-cosa).x-4-4cos2a=0$ ។

៣២.ពិភាក្សាតាម $m$ ចំនួនរឹសនៃសមីការ $m(x^2+3x+3)+x+1=0$ ។

______________________________

៣៣.ដោះស្រាយសមីការ $36(x^2+11x+30)(x^2+11x+31)=(x^2+11x+12)(x^2+9x+20)(x^2+13x+42)$ ។

៣៤.រក $(x, y)$ ជាចំនួនគត់ដើម្បីឲ្យ $13\sqrt x-7\sqrt y=\sqrt {2000}$ ។

៣៥.គេឲ្យ $x=-2272; y=10^3+10^2c+10b+a; z=1$ រក $y$ ផ្ទៀងផ្ទាត់ $ax+by+cz=1$ ដែល $a, b, c$ ជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន, $a<b, c$ ។

៣៦.ស្រាយបញ្ជាក់ថាចំពោះគ្រប់ $n$ ជាចំនួនគត់ធម្មជាតិ, សមីការខាងក្រោមមិនមានរឹស $(x, y)$ ជាចំនួនគត់: $3x^2+(2003-2y^n).x+6.y^{2n}-4y^2=2005$ ។

_________________________________________

៣៧.រក $(x, y)$ ជាចំនួនគត់ដើម្បីឲ្យ $4x+3y=xy-20$ ។

៣៨.គេឲ្យសមីការ $6x-5y=xy-30$

a) រក $(x, y)$ ជាចំនួនគត់អវិជ្ជមាន ។

b) រក $(x, y)$ ជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន ។

c) រក $(x, y)$ ជាចំនួនគត់ ។

៣៩.កំណត់គ្រប់បណ្តាអនុគមន៍ជាប់ $f: R\mapsto R$ ផ្ទៀងផ្ទាត់សមភាព: $f(x^2)+f(x)=x^2+x$ ។

៤០.ស្រាយបញ្ជាក់ថាសមីការ $x^{13}-x^6+3x^4-3x^2+1=0$ មានរឹសជាចំនួនពិតតែមួយគត់។

______________________________

៤១.ដោះស្រាយសមីការ $(a^2-a)^2(x^2-x+1)^3=(a^2-a+1)^3=(a^2-a+1)^3(x^2-x)^2$ ក្នុងនោះ $a$ ជាចំនួនមួយដែលគេស្គាល់តំលៃ។

៤២.សមីការ $a_{0}x^n+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n}=0, n$ ជាចំនួនគត់វិជ្ជមានធំជាង $1, a_{0}\ne 0$ , មាន $n$ រឹសផ្សេងគ្នា។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ $(n-1)a_{1}^2\ge 2na_{0}a_{2}$ ។

៤៣.ដោះស្រាយសមីការ $x^6-7x^2+\sqrt 6=0$ ។

៤៤.រក $(x, y)$ ជាចំនួនគត់ដើម្បីឲ្យ $7x-12=xy$ ។

______________________________

៤៥.ស្រាយបញ្ជាក់ថាសមីការខាងក្រោមមានរឹសជាចំនួនពិតមួយគត់ៈ $x^5+2x^3-x^2+x-1=0$ ។

៤៦.ដោះស្រាយសមីការ $x^8+2x^6-12x^4-13x^2+4=0$ ។

៤៧.តើមានឬទេបីចំនួនពិតផ្សេងគ្នា a, b, c ផ្ទៀងផ្ទាត់សមភាព $(a-b)^5+(b-c)^5+(c-a)^5=0$ ។

៤៨.ស្រាយបញ្ជាក់ពហុធា $P(x)=x^5-3x^4+4x^3-3x^2+9x+6$ មិនអាចសំដែងជាផលគុណនៃពីរពហុធាដឺក្រេតូចជាងដែលមានមេគុណជាចំនួនគត់។

______________________________

៤៩.រកគ្រប់បណ្តារឹសជាចំនួនពិតនៃសមីការ $(a+x)^n+(a-x)^n=(a+b)^n+(a-b)^n$ ។

៥០.ដោះស្រាយសមីការ $(x^4+5x^3+8x^2+7x+5)^4+(x^4+5x^3+8x^2+7x+3)^4=16$ ។

៥១.ស្រាយបញ្ជាក់ថាសមីការ $5x^5+4x^4+6x^3-2x^2+5x+4=0$ មានរឹស ។

៥២.ពិភាក្សាតាម $a$ ចំនួនរឹសនៃសមីការ $\dfrac{x^{2n+2}}{2n+2}+\dfrac{x^{n+2}}{n+2}+\dfrac{x^2}{2}+a=0$ ។

______________________________

៥៣.រករឹសជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន $(x, y)$ នៃសមីការ $2x^2+3y^2+4x-19=0$ ។

៥៤.ស្រាយបញ្ជាក់ថាចំពោះ $m$ ជាចំនួនគត់, សមីការខាងក្រោមគ្មានរឹស $x$ ជាចំនួនគត់អវិជ្ជមាន:

$5x^2-7x-32+8m^2=0$ ។

៥៥.គេឲ្យ $a(a-c)+c(c-a)+8(d-b)>0$ ។ស្រាយបញ្ជាក់ថាយ៉ាងហោចណាស់មួយក្នុងចំណោមពីរសមីការខាងក្រោមមានរឹសពីរផ្សេងគ្នា $x^2+ax+b=0$ និង $-x^2+cx+d=0$ ។

៥៦.រកគ្រប់បណ្តារឹស $x_{1},x_{2}$ នៃសមីការ $x^2+bx+1=0$ ដោយដឹងថា $[(2-x_{1})(\dfrac{1}{2}-x_{1})(2+x_{2})(\dfrac{1}{2}+x_{2})]^2=10b+1$ ។

______________________________

៥៧.ឧបមាថាសមីការ $x^2+ax+b=0$ មានរឹស $x_{1},x_{2}$ និងសមីការ $x^2+cx+d=0$ មានរឹស $x_{3},x_{4}$ ។ស្រាយបញ្ជាក់ថា $2(x_{1}+x_{3})(x_{1}+x_{4})(x_{2}+x_{3})(x_{2}+x_{4})=2(b-d)^2-(a^2-c^2)(b-d)+(a+c)^2(b+d)$ ។

៥៨.ស្រាយបញ្ជាក់ថា $kb^2=(k+1)^2ac, k\ne -1$ ជាលក្ខខណ្ឌចាំបាច់និងគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីឲ្យសមីការ $ax^2+bx+c=0, a\ne 0$ មានរឹសពីរ ក្នុងនោះរឹសមួយស្មើ $k$ ដងរឹសមួយទៀត។

៥៩.រករឹសជាចំនួនគត់ $(x, y)$ នៃសមីការ $-6x^2-2y^2+6xy+8x+3y=168$ ។

៦០.ស្រាយបញ្ជាក់ថាក្នុងសំនុំចំនួនគត់អវិជ្ជមានសមីការខាងក្រោមមានរឹសតែមួយគត់ $8x^2-7y=100$ ។

______________________________

៦១.រកគ្រប់បណ្តាគូចំនួនគត់វិជ្ជមាន $(m, n)$ ដើម្បីឲ្យ $\dfrac{n^3+1}{mn-1}$ ជាចំនួនគត់។

៦២.រកនៅលើក្រាបនៃអនុគមន៍ ${x^2+x-1}{x-2}$ គ្រប់បណ្តាចំនុចដែលកូអរដោនេរបស់ពួកវាជាចំនួនគត់។

៦៣.រករឹស $(x, y, z, t)$ ជាចំនួនគត់នៃសមីការ $(x-y)^{2004}+(y-z)^{2004}+(z-x)^{2004}=t.(x-y)(y-z)(z-x)$ ។

៦៤.តើមានឬទេ រឹសជាចំនួនគត់ $(x, y, z)$ នៃសមីការ $x^{12}+y^{12}+z^{12}=2.(19^{1953}+88^{1953})$ ។

______________________________

៦៥.គេឲ្យ $x$ ជារឹសនៃសមីការ $x^2-ax+1=0$ ចំពោះ $a$ ជាចំនួនគត់ថេរធំជាង $2$ ។ស្រាយបញ្ជាក់ថា $x^3$ អាចសរសេរជារាង $p+q\sqrt r$ ចំពោះ $p, q, r$ ជាចំនួនគត់។

៦៦.ស្រាយបញ្ជាក់ថាបណ្តាចំនួនកំផ្លិច $a,b$ ផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌ $a^2=2b\ne 0$ កាលណាបណ្តារឹសនៃពហុធា $x^2+ax+b$ បង្កើតបានជាកំពូលនៃត្រីកោណកែងសមបាតមួយនៅលើប្លង់កំផ្លិច ដែលមានកំពូលមុំកែងនៅត្រង់គល់តំរុយ។

៦៧.សមីការដឺក្រេទីពីរ $x^2+ax+b=0$ មានរឹសពីរ $x_{1},x_{2}$ ។ស្រាយបញ្ជាក់ថា $x_{1}^2+x_{2}^2\ge 1$ ដោយដឹងថា $b\le a-1$ ។
៦៨.រក $a,b$ ដើម្បីឲ្យសមីការខាងក្រោមមានរឹស $x^2+5=2[x-2cos(ax+b)]$ ។

______________________________

៦៩.គេឲ្យបណ្តាចំនួនគត់ $a, b, c$ ចំពោះ $a>0$ និងពហុធា $P(x)=ax^2+bx+c$ មានរឹសពីរផ្សេងគ្នាលើចន្លោះ $(0,1)$ ។ស្រាយបញ្ជាក់ថា $a\ge 5$ ។រកតិចបំផុតមួយ គូចំនួន $(b, c)$ ដើម្បីឲ្យ $a=5$ ។

៧០.ពិនិត្យមើលបណ្តាត្រីធាដឺក្រេទីពីរ $f(x)=ax^2+bx+c, g(x)=Ax^2+Bx+C, g_{1}(x)=Ax^2+(2A+B)x+A+B+C, f_{1}(x)=a.g_{1}(1)x^2+b.g_{1}(0)x+c.g_{1}(-1)$ ។ស្រាយបញ្ជាក់ថាសមីការ $f(x)=0, g(x)=0$ មានរឹស និង $g_{1}(x)\ne 0$ លើចន្លោះ $[-1,1]$ នោះសមីការ $f_{1}(x)=0$ ក៏មានរឹសដែរ ។

៧១.រកបណ្តាតំលៃជាចំនួនគត់នៃគូចំនួន $(a, b)$ ដើម្បីឲ្យសមីការ $x^2+ax+b=0$ មានរឹសពីរផ្សេងគ្នា $x_{1}\in (-5,-4)$ និង $x_{2}\in (2,3)$ ។

៧២.ដោះស្រាយនិងពិភាក្សាសមីការខាងក្រោម :

$\dfrac{ax+b}{x-a}=\dfrac{x-b}{x+a}$ ។

______________________________

៧៣.តាង $x_{2}$ ជារឹសធំនៃសមីការ $x^2-8x+1=0$ ។ស្រាយបញ្ជាក់ថា $1874887<x_{2}^7<1874888=0$ ។

៧៤.ដោះស្រាយសមីការ $(x-1)^2.[1+2x+3x^2+...+(n+1)x^n]=1$ ។

៧៥.ស្រាយបញ្ជាក់ថាសមីការ $16x^5-20x^3+5x+2=0$ មានរឹសតែមួយគត់, ចូររករឹសនោះ?

៧៦.ស្រាយបញ្ជាក់ថាសមីការ $x^2-2y^2=5$ មិនមានរឹស $(x,y)$ ជាចំនួនគត់ទេ។

______________________________

៧៧.ស្រាយបញ្ជាក់ថាបើសមីការ $ax^2+bx+c=0$ ( ក្នុងនោះ $a, b, c$ ជាចំនួនសនិទាន)មានរឹសមួយជាចំនួនអសនិទានគឺ $m+\sqrt n$ នោះរឹសមួយទៀតរបស់វាគឺ $m-\sqrt n$ ។

៧៨.គេឲ្យ $a_{1}.a_{2}\ge 2(b_{1}-b_{2})$ ។ស្រាយបញ្ជាក់ថាយ៉ាងហោចណាស់មួយក្នុងចំណោមពីរសមីការ $x^2+a_{1}x+b=0; x^2+a_{2}x+b_{2}=0$ មានរឹស។

៧៩.ឧបមាថា $f(x)=x^2+ax+b$ ផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌ $|f(x)|\le \dfrac{1}{2}$ ពេល $|x|\le 1$ ។

ស្រាយបញ្ជាក់ថា $f(x)=x^2-\frac{1}{2}$ ។

៨០.ស្រាយបញ្ជាក់ថាចំពោះគ្រប់ $m\ne -1$ និង $a<b<c<d$ សមីការ $(x-a)(x-c)+m(x-b)(x-d)=0$ តែងមានរឹសពីរផ្សេងគ្នា។

______________________________

៨១.ស្រាយបញ្ជាក់ថាបើ $a, b$ ជារឹសនៃសមីការ $x^2+px-1=0 ,p$ ជាចំនួនបឋមសេស នោះចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់ $n\ge 0$ បណ្តាចំនួន $a^n+b^n$ និង $a^{n+1}+b^{n+1}$ សុទ្ធតែជាបណ្តាចំនួនគត់ហើយជាចំនួនបឋមរវាងគ្នា។

៨២.រកគ្រប់បណ្តាចំនួនពិត $a, b$ ផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌខាងក្រោមនេះ :

a) បណ្តាសមីការ $x^2+ax+1=0$ និង $x^2+bx+2=0$ មានរឹសមួយរួមគ្នា,

b) ផលបូក $|a|+|b|$ តូចបំផុត។

៨៣.ត្រីធាដឺក្រេទីពីរ $f(x)=ax^2+bx+c$ ផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌ $|f(x)|\le 1$ ពេល $|x|\le 1$ ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាចំពោះគ្រប់ $M\ge 1, |f(x)|\le 2M^2-1$ ពេល $|x|\le M$ ។

៨៤.ស្រាយបញ្ជាក់ថាសមីការ $ax^2+bx+c=0$ មិនមានរឹសជាចំនួនសនិទានបើ $a, b, c$ ជាចំនួនសេស ។

______________________________

៨៥.ស្រាយបញ្ជាក់ថាចំនួន $A=2222^{5555}+5555^{2222}$ ចែកដាច់នឹង $7$ ។

៨៦.គេឲ្យ $x, y$ ជាបណ្តាចំនួនគត់ ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថា $x^2+y^2$ ចែកដាច់នឹង $3$ កាលណាពីរចំនួន $x, y$ ចែកដាច់នឹង $3$ ។

៨៧.តើសមីការ $z^3-2z^2-2z+m=0$ អាចមានរឹសបីជាចំនួនសនិទានផ្សេងគ្នាឬទេ? ហេតុអី?

៨៨.រកអនុគមន៍ $h(x^2+x+1)=\dfrac{2x^2+2x+5}{3-x-x^2}$ ។

______________________________

៨៩.រក $a$ ជាចំនួនគត់ ដើម្បីឲ្យពហុធា $(x-1)(x-10)+1$ អាចពន្លាតបានជាផលគុណនៃពីរពហុធា (មានដឺក្រេខុសគ្នា) ដែលបណ្តាមេគុណជាចំនួនគត់ ។

៩០.ស្រាយបញ្ជាក់ថាបើសមីការដឺក្រេទីពីរ $ax^2+bx+c=0, a\ne 0$ ចំពោះមេគុណជាចំនួនគត់មានរឹសជាចំនួនសនិទាន នោះក្នុងបណ្តាចំនួន $a, b, c$ មានតិចបំផុតមួយជាចំនួនគូ ។

៩១.រក $a, b, c$ ដើម្បីឲ្យសមីការ $ax^2+bx+c=0$ មានរឹសពីរស្ថិតក្នុងចន្លោះ $[0, 1]$ ។ រកតំលៃធំបំផុតនៃកន្សោម $M=\dfrac{(a-b)(2a-b)}{(a)(a-b+c)}$ ។

៩២.ពហុធា $f(x)= ax^2+bx+c$ ផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌ $|f(0)|\le 1, |f(1)|\le 1, |f(-1)|\le 1$ ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថា :

a). $|a|+|b|+|c|\le 3$ ។

b). $|f(x)|\le 7$ ពេល $|x|\le 2$ ។

______________________________

៩៣.រក $f(x)$ ជាប់ចំពោះគ្រប់ $x$ , ដើម្បីឲ្យ $f(\dfrac{x+y}{2})=\dfrac{f(x)+f(y)}{2}$ ចំពោះគ្រប់ $x, y$ ។

៩៤.រករឹស $(x, y)$ ជាចំនួនវិជ្ជមាននៃសមីការ $2x^2+3y^2-5xy+3x-2y-3=0$ ។

៩៥.រករឹសជាចំនួនគត់ $(x, y, z)$ នៃសមីការ $x^{53}+y^{53}=53z$ ។

៩៦.ស្រាយបញ្ជាក់ថាបើ $a, b$ ជាបណ្តារឹសនៃ $P(x)=x^2+px+1$ និង $c, d$ ជាបណ្តារឹសនៃ $Q(x)=x^2+qx+1$ នោះ

$(a-c)(b-c)(a+d)(b+d)=q^2-p^2$

______________________________

៩៧.បណ្តារឹសនៃសមីការ $x^5-40x^4+Px^3+Qx^2+Rx+S=0$ បង្កើតបានជាស្វ៊ីតធរណីមាត្រ។ ផលបូកចំរាសរបស់ពួកវាស្មើ $10$ ។ ចូរគណនា $|S|$ ។

៩៨.ដោះស្រាយសមីការ $\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{4}{x-2}+\dfrac{4}{x-3}+\dfrac{4}{x-4}+\dfrac{3}{x-5}=0$ ។

៩៩.រក $x, y$ ដោយដឹងថា: $\dfrac{36}{x^2}+\dfrac{4}{y^2}+4x^2+y^2=28$ ។

១០០.រក $f(x)$ ជាប់ចំពោះគ្រប់ $x$ ដែល $f(\dfrac{x+y}{2})=\dfrac{2.f(x).f(y)}{f(x)+f(y)}$ ។

______________________________

១០១.ស្រាយបញ្ជាក់ថា បើ $n$ ជាចំនួនគត់ធម្មជាតិគូ, $a>3$ នោះសមីការខាងក្រោមគ្មានរឹសៈ $(n+1)x^{n+2}-3(n+2)x^{n+1}+a^{n+2}$ ។

១០២.រកតំលៃតូចបំផុតនៃ $a^2+b^2$ ក្នុងនោះ $a$ និង $b$ ជាបណ្តាចំនួនពិត, ដើម្បីឲ្យសមីការ $x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0$ មានរឹសតិចបំផុតមួយជាចំនួនពិត។

១០៣.រករឹសជាចំនួនពិតនៃសមីការ $(x-1)(x-3)(x+5)(x+7)=297$ ។

១០៤. $P(x)$ ជាពហុធាដឺក្រេទីបួន ដែល $P(1)=P(-1)$ និង $P(2)=P(-2)$ ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថា $P(x)=P(-x)$ ចំពោះគ្រប់តំលៃ $x$ ។

______________________________

១០៥.ឧបមាថា $a$ និង $b$ ជារឹសពីរក្នុងចំណោមរឹសទាំងបួននៃពហុធា $P(x) = x^4+x^3-1$ ។ស្រាយបញ្ជាក់ថា $ab$ ជារឹសនៃពហុធា $Q(x) = x^6+x^4+x^3-x^2-1$ ។

១០៦.ស្រាយបញ្ជាក់ថាសមីការខាងក្រោមគ្មានរឹស : $x^12-x^9+x^4-x+1=0$ ។

១០៧.គេឲ្យចំនួនបឋម $p=\overline{a_{0}a_{1}a_{2}...a_{k}}$ ចំពោះ $k\ge 3$ ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាសមីការខាងក្រោមគ្មានរឹសជាចំនួនសនិទានៈ $a_{0}x^k+a_{1}x^{k-1}+a_{2}x^{k-2}+...+a_{k}=0$ ។

១០៨.គេឲ្យ $n$ ជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន ។ ដោះស្រាយសមីការ : $(2n+1)x^{2n+2}-6(n+1)x^{2n+1}+4^{2n+2}=0$ ។

______________________________

១០៩.ដោះស្រាយសមីការ : $a^2.\dfrac{(a+b)(a+x)}{(a-b)(a-x)}+b^2.\dfrac{(b+x)(b+a)}{(b-x)(b-a)}+x^2.\dfrac{(x+a)(x+b)}{(x-a)(x-b)}=0$ ។

១១០.រក $m$ ដើម្បីឲ្យសមីការ : $(x^2-1)(x+3)(x+5)=m$ មានរឹស បួនផ្សេងគ្នា $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ ផ្ទៀងផ្ទាត់ $\dfrac{1}{x_{1}}+\dfrac{1}{x_{2}}+\dfrac{1}{x_{3}}+\dfrac{1}{x_{4}}=-1$ ។

១១១.ស្រាយបញ្ជាក់ថា $\sqrt{2}+\sqrt{5}$ ជាចំនួនអសនិទាន ។

១១២.គេឲ្យពហុធា $P(x)=x^n+ax^{n-1}+...+a_{n-1}x+1$ ជាមួយបណ្តាមេគុណមិនអវិជ្ជមាន $a_{1},a_{2},...,a_{n-1}$ មាន n រឹសជាចំនួនពិត។ ស្រាយបញ្ជាក់ថា $P(2)\ge 3^n$ ។

______________________________

១១៣.គេឲ្យ $x^2+x+1=0$ ។ចូរគណនាតំលៃនៃកន្សោម $M=( x+\dfrac{1}{x})^2+(x^2+\dfrac{1}{x^2})^2+(x^3+\dfrac{1}{x^3})+...+(x^{27}+\dfrac{1}{x^{27}})^2$ ។

១១៤.គេឲ្យ $a, b, c$ ជាប្រវែងជ្រុងនៃត្រីកោណមួយ ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាសមីការខាងក្រោមមារឹសៈ $(a^2+b^2-c^2)x^2-4abx+a^2+b^2-c^2=0$ ។

១១៥.គេដឹងថា $a+b+c<0$ ហើយសមីការ $ax^2+bx+c=0$ គ្មានរឹសជាចំនួនពិត។ ចូរកំណត់សញ្ញានៃមេគុណ $c$ ។

១១៦.គេឲ្យ $a, b, c$ ជាបីចំនួនខុសគ្នា, ក្នុងនោះ $c\ne 0$ ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាបើបណ្តាសមីការ $x^2+ax+bc=0$ (1), $x^2+bx+ca=0$ មានរឹសមួយរួមគ្នា នោះរឹសទីពីរ នៃបណ្តាសមីការខាងលើ ជារឹសនៃសមីការ $x^2+cx+ab=0$ ។

______________________________

១១៧.ដោះស្រាយនិងពិភាក្សាតាម a, b នូវសមីការខាងក្រោមៈ

$x+\dfrac{1}{x}=\dfrac{a-b}{a+b}+\dfrac{a+b}{a-b}$ ។

១១៨.រក $a$ ដើម្បីឲ្យរឹស $x_{1},x_{2}$ នៃសមីការ $x^2+ax+1=0$ ផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌៈ $\dfrac{x_{1}^2}{x_{2}^2}+\dfrac{x_{2}^2}{x_{1}^2}>7$ ។

១១៩.គេឲ្យសមីការពីរៈ $ax^2+bx+c=0 (1)$ , $a'x^2+b'x+c'=0 (2)$ ។ ឧបមាថាមួយក្នុងចំណោមសមីការទាំងពីរ ឬ ទាំងពីរសមីការ ដែលបានឲ្យមិនមានរឹជាចំនួនពិត។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាសមីការខាងក្រោមមានរឹសជាចំនួនពិតៈ $(ab'-a'b)x^2+2(ac'-a'c)x+(bc'-b'c)=0$ ។

១២០.គេឲ្យ $5a+4b+6c=0$ ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាសមីការខាងក្រោមមានរឹស: $ax^2+bx+c=0$

______________________________

១២១.ស្រាយបញ្ជាក់ថាសមីការ $x^4+5x^3+6x^2-4x-16=0$ មានរឹសតែពីរគត់។

១២២.រកគ្រប់បណ្តាគូចំនួនពិត $p, q$ ដើម្បីឲ្យពហុធា $x^4+px^2+q$ មានរឹសបួនជាចំនួនពិតបង្កើតបានជាស្វ៊ីតនព្វន្ត។

១២៣.ស្រាយបញ្ជាក់ថា បើពហុធាដឺក្រេទីបី $2$ មានមេគុណជាចំនួនគត់ មានរឹសរួមគ្នាមួយជាចំនួនអសនិទាន នោះនឹងមានរឹសរួមគ្នាមួយទៀត។

១២៤.រកគ្រប់បណ្តាពហុធាដឺក្រេទីបី $P(x)=x^3+ax^2+bx+c$ មានចំនួនសនិទាន $a, b, c$ ជារឹស។

______________________________

១២៥.រក $a$ និង $b$ ដើម្បីឲ្យពហុធា $x^4+x^3+ax^2+b$ ជាការេប្រាកដ ។

១២៦. រករឹសជាចំនួនពិតនៃសមីការ $(x+2)^4+x^4=82$ ។
១២៧.កំណត់ពហុធា $f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx-c$ ដើម្បីឲ្យ $abc\ne 0$ និង $f'(x)=0$ មានរឹសជាចំនួនគត់ពីរផ្សេងគ្នា។

១២៨.គេដឹងថាក្នុងបណ្តារឹសនៃសមីការ $x^4-18x^3+kx^2+200x-1984=0$ មានរឹសពីរដែលផលគុណរបស់វាស្មើ $-32$ ។ចូរកំណត់ $k$ ?

______________________________

១២៩.រក $f(x)$ ដោយដឹងថា $f(x)+f(x+1)=1$ ហើយចំពោះ $0\leq x<1$ នោះ $f(x)=x$ ។

១៣០.រកគូអនុគមន៍ $f(x)$ និង $g(x)$ ដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ $f(x)-f(y)=(x+y).g(x-y)$ ។

១៣១.គេឲ្យ $m>0$ និង $\dfrac{a}{m+7}+\dfrac{b}{m+5}+\dfrac{c}{m+3}=0$ ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាសមីការ $ax^4+bx^2+c=0$ មានរឹសស្ថិតក្នុងចន្លោះ $(0,1)$ ។

១៣២.ដោះស្រាយសមីការៈ
$\dfrac{a^2(b-x)}{b+x-a}+\dfrac{b^2(x-a)}{x+a-b}+\dfrac{x^2(a-b)}{a+b-x}+\dfrac{(a+b+x)^2(a-b)(b-x)(x-a)}{(b+x-a)(x+a-b)(a+b-x)}=0$ ។

______________________________

១៣៣.តាង $a, b, c$ ជាបណ្តារឹសនៃសមីការ $x^3-x-1=0$ ។ ចូរគណនា $M=\dfrac{1-a}{1+a}+\dfrac{1-b}{1+b}+\dfrac{1-c}{1+c}$ ។

១៣៤.តើបណ្តាចំនួនពិត $a, b, c$ ត្រូវបំពេញលក្ខខណ្ឌចាំបាច់និងគ្រប់គ្រាន់ណា ដើម្បីឲ្យសមីការ $x^3+ax^2+bx+c=0$ មានរឹសជាចំនួនពិតបង្កើតបានជាស្វ៊ីតនព្វន្តមួយ ?

១៣៥.បណ្តាមេគុណ $a, b, c$ នៃសមីការ $x^3+ax^2+bx+c=0$ ត្រូវបំពេញលក្ខខណ្ឌណា ដើម្បីឲ្យសមីការមានរឹសជាចំនួនពិតផ្សេងគ្នា បង្កើតបានជាស្វ៊ីតធរណីមាត្រមួយ?

១៣៦.រកគ្រប់បណ្តាចំនួនវិជ្ជមាន $m$ ដើម្បីឲ្យសមីការខាងក្រោមមានរឹសជាចំនួនសនិទានៈ $x^n+(x+2)^n+(2-x)^n=0$

______________________________

១៣៧.រកគ្រប់បណ្តាតំលៃរបស់ $a$ ដើម្បីឲ្យបណ្តារឹស $x_{1},x_{2},x_{3}$ នៃពហុធា $P(x)=x^3-6x^2+ax+a$ ផ្ទៀងផ្ទាត់សមភាព $(x_{1}-3)^3+(x_{2}-3)^3+(x_{3}-3)^3=0$ ។

១៣៨.រកបណ្តាចំនួនគត់មិនអវិជ្ជមាន $a, b, c$ ផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌ $a+2b+3c=1$ ។ស្រាយបញ្ជាក់ថាយ៉ាងហោចណាស់មួយក្នុងចំណោមពីរសមីការខាងក្រោមមានរឹសជាចំនួនពិតៈ

$4x^2-4(2a+1)x+4a^2+192abc+1=0 ,4x^2-4(2b+1)x+4b^2+96abc+1=0$ ។

១៣៩. ស្រាយបញ្ជាក់ថា $\sqrt 8$ ជាចំនួនអសនិទាន។

១៤០. ស្រាយបញ្ជាក់ថាសមីការខាងក្រោមនេះមានរឹសបួនផ្សេងគ្នាៈ

$5x^4+40x^3+105x^2+100x+24=0$ ។

______________________________

១៤១. រកគ្រប់បណ្តាចំនួនគត់ធម្មជាតិ $n$ ដើម្បីឲ្យមានចំនួនគត់ធម្មជាតិ $( x, y, z )$ ដែល $( x + y + z )^2$ ចែកដាច់នឹង $nxyz$ ។

១៤២. សមីការខាងក្រោមមានរឹសជាចំនួនគត់ឬទេ?

$(x+1)^2+a^2=(x+2)^2+b^2=(x+3)^2+c^2=(x+4)^2+d^2$ ។

១៤៣.ឧបមាថា $x, y, n$ ជាបណ្តាចំនួនគត់វិជ្ជមាន, $x$ និង $y$ បឋមរវាងគ្នា។ ស្រាយបញ្ជាក់ថា គ្រប់តួចែកសេសនៃចំនួន $x^{2^n}+y^{2^n}$ សុទ្ធតែមានរាង $2^{n+1}m+1$ ។

១៤៤.a) ស្រាយបញ្ជាក់ថា មានចំនួនគត់ធម្មជាតិ $a$ រាប់មិនអស់ដើម្បីឲ្យ $a+1$ និង $3a+1$ សុទ្ធតែជាការេប្រាកដ។

______________________________

១៤៥. ស្រាយបញ្ជាក់ថា បើ $ab\equiv bd (mod m)$ , $a\equiv b(mod m)$ និង $(a, b) =1$ នោះ $c\equiv d(mod m)$ ។

១៤៦. ស្រាយបញ្ជាក់ថា $\dfrac{2a+11b}{19}$ ជាចំនួនគត់មួយកាលណា $\dfrac{5a+18b}{19}$ ជាចំនួនគត់មួយ, $a, b\in\mathbb{Z}$ ។

១៤៧. រកបណ្តារឹសជាចំនួនគត់នៃសមីការៈ $x^2+y^2+z^2=x^2y^2$ ។

១៤៨. រកគូចំនួនគត់ធម្មជាតិ $(m, n)$ ដើម្បីឲ្យ $1\le m\le n, m^2\equiv -1(mod n), n^2\equiv -1(mod m)$ ។

b) គេឲ្យ $a_{1}< a_{2}<...$ ជាស្វ៊ីតនៃបណ្តាចំនួនគត់ផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខណៈ a) ។ស្រាយបញ្ជាក់ថា $a_{n}a_{n+1}+1$ ជាការេប្រាកដចំពោះគ្រប់ $n\ge 1$ ។

______________________________

១៤៩. ឧបមាថា $d = ( a, b ) ,n$ ជាចំនួនគត់ធំជាង $1$ ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថា បើ $\dfrac{b}{a}$ សេសនោះ $(n^a+1, n^b-1)\leq2$ ។

១៥០. រកអនុគមន៍ $f(x)$ ដោយដឹងថា $2f(x)+3x.f(-x)=2+3x$ ។

១៥១. កំណត់បណ្តាចំនួនគត់ $a, b, c, d, e$ ដើម្បីឲ្យៈ $(x^2+ax+b)(x^3+cx^2+dx+e)=x^5-9x-27$ ។

១៥២.តាង $x_{1},x_{2},x_{3}$ ជាបណ្តារឹសនៃពហុធា $P(x)=\alpha.x^3-\alpha.x^2+\beta.x+\beta$ ចំពោះ $\alpha\beta\ne 0$ ស្រាយបញ្ជាក់ថា $(x_{1}+x_{2}+x_{3})(\dfrac{1}{x_{1}}+\dfrac{1}{x_{2}}+\dfrac{1}{x_{3}})=-1$

______________________________

១៥៣. គេឲ្យ $n$ ជាចំនួនគត់ធម្មជាតិ ។ រកតួចែករួមធំបំផុតនៃបណ្តាចំនួន $C_{2n}^1, C_{2n}^3, ... , C_{2n}^{2n-1}$ ។

១៥៤. រកគ្រប់បណ្តាចំនួនគត់ធម្មជាតិ $n$ ដើម្បីឲ្យមានបណ្តាចំនួនគត់វិជ្ជមាន $a_{1},a_{2}, ... ,a_{n}$ ផ្ទៀងផ្ទាត់សមភាពខាងក្រោមៈ

$n=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}.a_{2}...a_{n}$ ។

១៥៥. ស្រាយបញ្ជាក់ថា ចំពោះបណ្តាចំនួនគត់ធម្មជាតិ $k , n$ ណាក៏ដោយ ចំនួន $1^{2k-1}+2^{2k-1}+...+(2n)^{2k-1}$ ចែកដាច់នឹង $2n+1$ ។

១៥៦. ចូរបង្ហាញថា ចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់ $n$ ប្រភាគៈ $\dfrac{12n+1}{30n+2}$ សំរួលមិនបាន ។

______________________________

១៥៧.រកបណ្តារឹសនៃសមីការខាងក្រោម $y^2=1+x+x^2+x^3+x^4$ ។

១៥៨. រកចំនួនគត់ $n >1$ តូចបំផុតដើម្បីឲ្យៈ $(\dfrac{1^2+...+n^2}{n})^\frac{1}{2}$ ជាចំនួនគត់ ។

១៥៩. ឧបមាថា $m, n$ ជាបណ្តាចំនួនគត់វិ់ជ្ជមាន , $n > 2$ ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថា $(2^m+1)$ មិនចែកដាច់នឹង $(2^n-1)$ ។

១៦០. ស្រាយបញ្ជាក់ថា មានចំនួនគត់វិជ្ជមាន $k$ ដើម្បីឲ្យចំនួន $k2^n+1$ ជាបណ្តុំចំនួនចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់វិជ្ជាមាន $n$ ។

______________________________

១៦១. រក $f(x)$ , បើ : a) $f(x+1) = x^2-3x+2$

b) $f(x+\dfrac{1}{x})=x^2+\dfrac{1}{x^2}$ ( $|x|\geq2$ )

c) $f(\dfrac{1}{x})=x+\sqrt{1+x^2}$ (x>0)

d) $f(\dfrac{x}{x+1})=x^2$ ។

១៦២. គេឲ្យស្វ៊ីតនៃបណ្តាចំនួនគត់វិជ្ជមាន $a_{1}<a_{2}<...<a_{n}<2n$ ដើម្បីឲ្យគ្មានពីរចំនួនណាចែកដាច់នឹងគ្នាទេ។ ឧបមាថា $k$ ជាចំនួនកំណត់ដោយ $3^k<2n<3^k+1$ ។ស្រាយបញ្ជាក់ថា $a_{1}\geq2^k$ ។

១៦៣. គេឲ្យ $n$ ជាចំនួនសេស ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាផលគុណនៃ $n$ ចំនួនគត់ធម្មជាតិតគ្នាចែកដាច់នឹងផលបូករបស់ពួកវា,លើកលែងតែពេល $n$ ជាចំនួនបឋម ។

១៦៤. ចំនួនគត់ $n$ ត្រូវបានហៅថាលេខល្អ បើវាអាចសរសេរក្រោមរាងៈ $n=a_{1}+a_{2}+...+a_{k}$ ,ក្នុងនោះ $a_{1},a_{2},...,a_{k}$ ជាបណ្តាចំនួនគត់វិជ្ជមាន (មិនចាំបាច់ផ្សេងគ្នាទេ) ផ្ទៀងផ្ទាត់ៈ

$\dfrac{1}{a_{1}}+\dfrac{1}{a_{2}}+...+\dfrac{1}{a_{n}}=1$ ។ ដឹងថា $n$ ជាលេខល្អបើ $33\leq n\leq 73$ ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាចំពោះគ្រប់លេខ $n\geq 33$ សុទ្ធតែជាលេខល្អ ។

______________________________

១៦៥. រកគ្រប់បណ្តាចំនួនគត់វិជ្ជមាន $n$ ដើម្បីឲ្យសមីការ $x^3+y^3+z^3=nx^2y^2z^2$ មានរឹសជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន ។

១៦៦. a) រក $11$ ចំនួនគត់ធម្មជាតិ តគ្នា ដែលផលបូកការេ របស់ពួកវាជាការេប្រាកដ ។

b) ស្រាយបញ្ជាក់ថាពេល $2< n <11$ មិនមាន $n$ ចំនួនគត់ធម្មជាតិតគ្នា ដែលមានលក្ខណៈដូចខាងលើទេ ។

១៦៧. គេឲ្យស្វ៊ីត ${x_{n}}$ កំណត់ដោយលក្ខខណ្ឌខាងក្រោម:

i) $x_{0}=0, x_{1}=1, x_{2}=0$ ;

ii)ចំពោះគ្រប់ $n\geq1$ , $x_{n+3}=\dfrac{(n^2+n+1)(n+1)}{n}.x_{n+2}+(n^2+n+1).x_{n+1}-\dfrac{n+1}{n}.x_{n}$ .។

ស្រាយបញ្ជាក់ថា $x_{n}$ ជាការេប្រាកដចំពោះគ្រប់ $n\geq 0$ ។

១៦៨. គេឲ្យចំនួនគត់ធម្មជាតិ $a, b, c, d, e$ ផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌ $a^4+b^4+c^4+d^4=e^4$ ។

ស្រាយបញ្ជាក់ថាតិចបំផុតក៏មាន: a) បីចំនួនគូ , b) បីចំនួនចែកដាច់នឹង $5$ , c) ពីចំនួនចែកដាច់នឹង $10$ ។

ចំលើយ

______________________________

១៦៩. រកគ្រប់បណ្តាចំនួនគត់ $a , b$ ដើម្បីឲ្យ $(a^2+b^2+1)$ ចែកដាច់នឹងផលគុណ $ab$ ។

១៧០. គេឲ្យស្វ៊ីតចំនួនពិត ${ y_n }$ កំណត់ដោយបណ្តាលក្ខ័ណខាងក្រោម :

a). $y_2 = y_3 = 1$ ;

b). $(n+1)(n-2)y_{n+1}=n(n^2-n-1)y_n-(n-)^3y_{n-1}$ , ចំពោះ $n\geq1$ ។

រកគ្រប់បណ្តាតំលៃរបស់ $n$ ដើម្បីឲ្យ $y_n$ ជាចំនួនគត់ ។

១៧១. ស្រាយបញ្ជាក់ថាសមីការ $4x^n+(x+1)^2=y^2$ , $n$ ជាចំនួនគត់ , មានរឹសជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន $(x,y)$ កាលណា $n=2$ ។

១៧២. a) ស្រាយបញ្ជាក់ថា ផលបូក $x^2+y^2$ ចំពោះ $x,y$ ជាចំនួនគត់ មិនអាចជាការេប្រាកដបានឡើយ បើ $x,y$ ចែកមិនដាច់នឹង $3$ ។

b) ស្រាយបញ្ជាក់ថា បើ $x^2+y^2=z^2, x,y,z$ ជាចំនួនគត់ គឺមានយ៉ាងតិចមួយក្នុងចំណោមចំនួនទាំងបី $x,y,z$ ចែកដាច់នឹង $5$ ។

ចំលើយ

______________________________

១៧៣. រកបណ្តាគោល $r ( <10000 )$ ដើម្បីឲ្យចំនួន $2101$ ( សរសេរក្នុងគោល $r$ ) ជាការេប្រាកដ ។

១៧៤. គេឲ្យ $a, b, c, d$ ជាបណ្តាចំនួនគត់ធម្មជាតិដែល $b^2+1=ac$ , $c^2+1=bd$ ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថា $a = 3b-c$ , $d = 3c-b$ ។

១៧៥. រកគ្រប់បណ្តាចំនួនគត់មិនអវិជ្ជមាន $x , y , z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការខាងក្រោម : $\sqrt{xyz}-\sqrt{x}-\sqrt{y}-\sqrt{z} = 2$ ។

១៧៦. រកគ្រប់បណ្តាចំនួនគត់ធម្មជាតិ $a , b , c , d$ ខុសគ្នាពីមួយទៅមួយ ដើម្បីឲ្យ $(abcd-1)$ ចែកដាច់នឹង $(a-1)(b-1)(c-1)(d-1)$ ។

អានបន្ត…

______________________________

១៧៧.រកគ្រប់បណ្ដាចំនួនគត់ធម្មជាតិ $m , n$ ដើម្បីឲ្យ $2^m+3^n$ ជាការេប្រាកដ។

១៧៨.រកគ្រប់ចំនួនគត់ធម្មជាតិ $x , y$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការ $x^y-y^x=x+y$ ។

អានបន្ត…

______________________________

១៧៩.គេឲ្យ $p$ ជាចំនួនបឋម , $p >3$ ; $n=\dfrac{2^{2p}-1}{3}$ ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថា $2^n-2$ ចែកដាច់និង $n$ ។
១៨០. ឧបមាថា $p$ ជាចំនួនបឋមមានរាង $3n+2$ ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាមិនមានចំនួនគត់ $x$ ដែលធ្វើឲ្យ $x^2+3$ ចែកដាច់នឹង $p$ ទេ ។

អានបន្ត…

______________________________

Rate this:

Like this:

Be the first to like this page.

2 thoughts on “គណិតវិទ្យា”

វ័ន្ត ច័ន្ទមករា says:

October 15, 2011 at 7:13 pm

អែយ៉ូយ!!! លំហាត់អីហ្នឹង? ;(

Log in to Reply
- blackstar says:
  
  October 16, 2011 at 9:59 am
  
  លំាហាត់ទី១២ហ្នឹងណា៎!, ម៉េចដែរ??
  
  Log in to Reply

	blackstar on VNMO 30-4-2010-Grade 10
	kevda2014 on VNMO 30-4-2010-Grade 10
	blackstar on VNMO 30-4-2009-Grade 11
	kevda2014 on VNMO 30-4-2009-Grade 11
	blackstar on Vietnam MO Team Selection Test…
	និស្សិតអន្តេរ២០១២ on Vietnam MO Team Selection Test…
	blackstar on Vietnam MO Team Selection Test…
	sokveasy on Vietnam MO Team Selection Test…
	blackstar on Vietnam MO Team Selection Test…
	ngetvuthy on Vietnam MO Team Selection Test…

Mblackstar..

ស្វាគមន៍មកដល់ទីនេះ!! welcome everyone!!

គណិតវិទ្យា

Rate this:

Like this:

2 thoughts on “គណិតវិទ្យា”

Leave a Reply Cancel reply

Follow “Mblackstar..”

May 2012
M	T	W	T	F	S	S
« Apr
	1	2	3	4	5	6
7	8	9	10	11	12	13
14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27
28	29	30	31